关于蒙特卡洛重要性采样无偏性、有效性的条件
前言
前几周看到一个面试问题,给哥们整玉玉了。
蒙特卡洛采样中的最优 PDF ,它满足什么条件时采样具有无偏性,什么条件下方差最小?
今天整理了一些相关的数学证明。
蒙特卡洛积分与重要性采样
求
分子分母同乘
实际上是求
离散化
蒙特卡洛重要性采样无偏性条件
根据
Situation | |||
---|---|---|---|
应该被计算,实际上也确实被计算了 | 对最终答案没有贡献,实际上也被计算了,但是无伤大雅 | 实际上能被采样到 | |
应该被计算,但是因为 | 对最终答案没有贡献,实际上没有被计算(正确的) | 实际上采样不到 | |
对最终结果有贡献,应该被计算 | 无效计算 |
更直观的,我们可以通过交并图来理解:
。。。。。。
蒙特卡洛重要性采样有效性条件
方差等于平方的期望减去期望的平方:
配方:配出一个在
要使得在新分布
由于
然而,
我们放宽条件:在积分域上重要的一部分区域上,
因此在权重
以 VNDF 为例讨论快速蒙特卡洛收敛
上一节中讲到:选择一个合适的采样分布,“在权重
回顾一下渲染方程:
其中
接下来,让我们看看 VNDF 是怎么做的。
VNDF(可见几何法向分布)
VNDF(Visible Normal Distribution Function)和通常的 NDF(Normal Distribution Function)最大的差异在于:在半球面上,只考虑了面朝摄像机一侧的微表面法向,背朝摄像机的法向占比为 0。
图中,NDF 中 15%面朝摄像机的微表面法向(
采样 VNDF 的技巧 - 其 1
在Understanding the Masking-Shadowing Function in Microfacet-Based BRDFs, Heitz这篇文章中,作者给出了很有巧思的采样方法。 文中使用的 VNDF:
它们将 VNDF 建模为椭球体(包含粗糙度和各向异性特性),通过对椭球体在观察向量
具体步骤:
- 图 a:椭球体和它的投影区域
- 图 b:记正变换 T,它将椭球体变换到标准球面,投影区域也随之改变。
- 图 c:对投影区域进行均匀采样,得到相对应于标准球面上的法向量
- 图 d:对法向量
作逆变换 ,得到椭球体上的法向量 。
怎么这么像 LTC,这种“转换进 cardinal 标准空间处理问题”的思路很流行呢。
采样 VNDF 的技巧 - 其 2
在Sampling Visible GGX Normals with Spherical Caps, Jonathan Dupuy, Anis Benyoub这篇文章中,作者给出了另一种采样方法。
这种方法来自一个很巧妙的观察:当我们看向一个完全镜面球体时,根据仰角的不同,反射光线均匀的分布在一个球冠表面上。记球坐标仰角
因此我们在高度为